球面平均法（method of spherical means）
直線上的波動方程很容易（達朗貝爾）。在二維或三維空間中它看起來困難得多——直到你用一個巧妙的訣竅：不去追蹤每一點處的波，而是追蹤它在每個半徑的球面上的平均。這種平均就是球面平均法，它神奇地把困難的多維問題化約成一個你已經會解的一維問題。
以下用淺白的步驟說明這個想法。固定一個中心點 x。對每個半徑 r 與時間 t，令 M(r,t) 為解 u 在以 x 為心、半徑 r 的球面上的平均值。有兩個事實使這有用。第一，當 r 縮到零，M(r,t) 回到 u(x,t) 本身——所以若你知道所有的平均，你就能還原出實際的解。第二，而且了不起的是，當 u 解波動方程時，它的球面平均 M 滿足一個關於單一變數 r 的波動方程（尤拉-帕松-達布方程；在三維中，乘以 r 後，它變成關於 r 乘 M 的普通一維波動方程）。所以你解一個關於平均的一維波動方程，再讓 r 趨於零。三維的基爾霍夫公式就掉了出來，而透過一個降維的訣竅（把二維問題當作不依賴第三座標的三維問題），二維的帕松公式也掉了出來。
這是高維度顯式波解與惠更斯原理背後的機房。它也是深刻的奇對偶維度行為的來源：化約成乾淨的一維波動方程在奇數維度漂亮地奏效（給出銳利的波前），而偶數維度需要降維，並沾上那個產生尾波的填滿積分。同樣的球面平均想法在拉普拉斯方程中重現，那裡的平均值性質說調和函數確切等於它自己的球面平均。
要求三維空間中某點在時間 t 的 u，你不去追蹤每一道鄰近的漣漪——你把初始資料在該點周圍半徑 ct 的單一球面上平均。這個方法告訴你那個平均基本上就是你所需的全部，並把一個三維偏微分方程化成一個關於半徑的一維方程。
在球面上平均，把多維波動方程化成一維方程。
球面平均是為傳播具球對稱性的常係數波動方程量身打造的。對於變係數或各向異性的介質（波並不在圓球面上散開），這個乾淨的化約就失效，需要其他工具。