展開線性遞迴式（unrolling a linear recurrence）
並非所有遞迴式都來自平衡的分治；許多來自對「稍微小一點」的輸入做單一遞迴呼叫，像 T(n) = T(n-1) + 某個東西。主定理不適用（它是為 T(n/b) 而非 T(n-1) 打造的），但有個更簡單的工具：就一步步把遞迴式展開，直到看出規律，再加總。
展開（也叫迭代法）的意思是把遞迴式反覆代入自己。取 T(n) = T(n-1) + n。代入：T(n) = T(n-2) + (n-1) + n = T(n-3) + (n-2) + (n-1) + n，一路往下到基底情況 T(0) = 0，得 T(n) = n + (n-1) + ... + 1 = sum from i=1 to n of i = n(n+1)/2 = Theta(n^2)。整個方法就是：展開 k 次以看出一般項，把 k 一路推到基底情況，再認出所得的和（等差級數、等比級數或調和級數）。T(n) = T(n-1) + 1 展開成 n 步的計數，故 Theta(n)；T(n) = 2 T(n-1) + 1 展開成等比和 1 + 2 + 4 + ... + 2^(n-1)，故 Theta(2^n)。
當子問題規模以「相減」而非「相除」遞減時，展開是最透明的方法——它出現在「每次剝掉一個元素」的遞迴，以及分析簡單迴圈時。誠實的告誡是：要把展開一路推到基底情況，並正確數出項數：在「碰到基底前能減幾次」上差一，會改變一個常數；但更危險的是，把級數種類數錯（等差還是等比）會徹底改變漸進行為——n(n+1)/2 是 Theta(n^2)，但等比的 2^n 則指數級地更糟。
T(n) = T(n-1) + c（每步常數工作）展開成 T(n) = T(0) + c*n = Theta(n)——一次線性掃描。但 T(n) = 2 T(n-1) + 1 展開成 2^n - 1 = Theta(2^n)——樸素遞迴費氏數列式的爆炸。同樣是「減一」的縮小，因為乘數 2，總量天差地別。
把遞迴式展開成級數再加總：等差給 Theta(n^2)，等比可能給 Theta(2^n)。
要正確辨認級數：遞迴項前的領導係數大於 1（像 2 T(n-1)）會讓和變成等比、答案變指數，而係數為 1（T(n-1)）通常給多項式成長。看錯這點，是最容易把答案差到一個指數的方式。