除子的線性等價（linear equivalence of divisors）
兩個除子可能逐點看起來不同，卻對一切幾何目的而言「相同」。原因在於：把某亞純函數的零點與極點挪來挪去並不改變任何內蘊的東西，因為你總可以乘上那個函數。線性等價正是精確地說兩個除子只相差這樣一個無害的挪動——相差某亞純函數的除子——因而應視為同一類。
精確地說，緊黎曼曲面上兩個除子 D 與 D' 線性等價（記作 D ~ D'），若其差是主除子：D - D' = div(f)，其中 f 為某非零亞純函數。這是等價關係（取 f = 1 自反、取 1/f 對稱、取乘積遞移）。由於緊曲面上每個主除子次數為 0，線性等價的除子永遠有「相同」的次數——次數是線性等價不變量。與固定 D 線性等價的有效除子之集是完全線性系 |D|，它自然是射影空間 P(L(D))：L(D) 中每個非零函數給出有效除子 D + div(f)，成比例的函數給出同一個除子。
為何重要：線性等價是把除子整理成可用之群的關係。所有除子對主除子的商是皮卡群 Pic(X)，其中次數為 d 的類在零次數部分 Pic^0(X)（即雅可比簇）下構成一個主齊空間。黎曼-羅赫只依賴線性等價類。典範除子僅在差一個線性等價下被定義。一個真正的微妙處：在球面（g = 0）上，兩個除子線性等價，當且僅當它們次數相等——次數是完全不變量。但對 g >= 1 這便失效：次數相等是必要而不充分，額外的障礙由落在雅可比簇中的阿貝爾-雅可比映射所衡量。所以「同次數」與「線性等價」只在虧格 0 時重合。
在球面上，[0] ~ [infinity]，因為 f(z) = z 有 div(f) = [0] - [infinity]。所以任一單點都與任一其他單點線性等價，球面上每個 1 次除子都彼此線性等價。然而在環面上，[p] ~ [q] 僅當 p = q 時成立：相異的點「絕不」線性等價，這正是環面有非平凡雅可比簇的原因。
球面上所有 d 次除子皆等價；環面上相異的點已然不同——這差距即雅可比簇。
次數相等強制線性等價「僅」在虧格 0 時成立。對 g >= 1，同次數的兩個除子可以線性不等價；障礙恰是其差在阿貝爾-雅可比映射下到 Pic^0 = 雅可比簇的像。