尾 σ-代數與 Kolmogorov 0-1 律（tail sigma-algebra and Kolmogorov's zero-one law）
/ kol-muh-GOR-off /
關於一列無窮隨機變數的某些問題，並不依賴其中任何有限多個——只取決於它們長期、極遠端的行為。級數 X1 + X2 + X3 + ... 收斂嗎？移動平均會穩定到一個極限嗎？是否有無窮多個變數超過 100？你可以把最前面的一百萬項整個換掉，卻絲毫不影響這些問題。這類問題就是尾事件，而 Kolmogorov 0-1 律對它們做出一個驚人的承諾：若這些變數獨立，則每個尾事件的機率不是 0 就是 1——絕不會落在兩者之間。
尾 σ-代數正是這些問題的精確居所。對一列 X1, X2, X3, ...，作「由指標 n 起所有變數所生成的 σ-代數」，再對所有 n 取這些 σ-代數的交集。一個事件能存活於這個交集中，恰恰當「丟掉任何有限前綴都不影響它」時成立——這就是「只依賴尾部」的形式含意。0-1 律於是陳述：若 Xn 獨立，則尾 σ-代數中任一事件的 P 等於 0 或 1。其證明背後的直覺是一個乾淨的悖論：尾事件由極遠未來的變數所決定，卻又與每一個早期變數的有限段獨立；把這點推到底，事件最終會與「它自己」獨立，而唯一滿足 p = p^2 的數只有 0 與 1。
其推論既銳利又有用：對獨立序列而言，任何真正依賴尾部的量，其「是／否」的判決是決定性的，儘管要查明它倒向哪一邊可能需要真功夫。一個隨機級數是否收斂、一個隨機漫步是否無窮多次返回原點、一個長期極限是否存在——每一個要嘛是必然、要嘛是不可能，絕非擲幣式的隨機。這條律告訴你答案是 0 或 1；它不告訴你是哪一個，而把那一點釘死是另一項任務（常透過 Borel-Cantelli 引理）。
對獨立隨機變數 X1, X2, X3, ...，事件「級數 sum Xn 收斂」是一個尾事件：改變任何有限多項都無法改變收斂性。依 0-1 律其機率為 0 或 1——級數要嘛幾乎必然收斂、要嘛幾乎必然發散，沒有中間地帶。
對獨立序列而言，任何僅依賴極遠尾部的事，皆以機率 0 或 1 被定奪。
獨立性不可或缺，而此律只擔保機率是 0 或 1——它從不告訴你是哪一個。判定真正的結果（例如透過 Borel-Cantelli）是另一個獨立的問題。