等斜線

一點一點地手繪斜率場很乏味——但有個巧妙的捷徑。與其在點與點之間跳躍，不如去獵尋一整條「曲線」，沿著它，所規定的斜率處處都是同一個常數。沿著這樣一條曲線，場的每一小段都互相平行、全都傾斜成相同的角度，於是你能一次掃進一整片的場。這些斜率為定值的曲線稱為等斜線，源自希臘文「相等的傾斜」。

精確地說，方程 y' = f(x, y) 的等斜線，是使 f(x, y) = m（m 為選定常數）的點所成的集合：沿著這條曲線，每個解都以恰為 m 的斜率穿過。要使用它，選一個 m 值、畫出曲線 f(x, y) = m，再沿著整條曲線畫上斜率為 m 的短線段。對好幾個 m 值重複，斜率場便高效地自行組裝起來。對 y' = x + y，斜率 m 的等斜線是直線 x + y = m——一族平行線，每條承載著它自己定值傾斜的場線段。

等斜線主要是實用的繪圖輔助，但它們也磨利你的直覺：有一條特殊的等斜線，即斜率為零的那條（f(x, y) = 0），是所有水平切線的軌跡——解曲線在那裡達到極大、極小或趨平。那條零斜率等斜線與平衡行為、以及解轉向之處密切相關。所以等斜線身兼二職：它們讓斜率場能手繪，也標出解攤平的那些特殊位置。