影像梯度

影像梯度衡量亮度從一個像素到下一個像素變化得多快，以及在哪個方向變化最快。把灰階影像想成一片丘陵地景，亮像素是高地、暗像素是低地；每一點的梯度就是最陡的上坡，一支箭頭，其長度說明有多陡、其指向說明朝哪個方向。影像平坦處（一面光滑的牆）梯度近乎零；越過邊緣處（牆到窗）梯度很大。這正是梯度成為邊緣偵測基礎的原因。

數學上，梯度是偏導數構成的向量，對影像 f 套用 nabla 這個符號會得到 (df/dx, df/dy)，即水平與垂直方向的變化率。由這兩個分量你可算出兩個有用的量：梯度大小 sqrt(Gx^2 + Gy^2)（有時近似為 |Gx| + |Gy|），即邊緣強度；以及梯度方向 atan2(Gy, Gx)，即最陡增加的方向，它垂直指向邊緣。在離散像素格上，導數以有限差分估計，最簡單的就是相鄰像素相減，實務上則用 Sobel 或 Scharr 等小核。

一個關鍵的微妙之處是：微分會放大雜訊，相減帶雜訊的鄰居會使雜訊相對變大，因此帶雜訊影像的原始梯度會被斑點主導。標準的補救是「先平滑再微分」，又因為微分與卷積可交換，這一步可用高斯導數核一次完成。梯度是龐大量電腦視覺工作的主力支柱：Canny 邊緣偵測器、方向梯度直方圖（HOG）描述子、SIFT 關鍵點方向、光流（optical flow），乃至連現代深度網路在最初幾層隱含學到的空間梯度線索。