影像的傅立葉轉換

傅立葉轉換把影像重新表達為不是像素強度的網格、而是一堆二維波的總和，即各種可能頻率與方向的正弦狀亮度漣漪。正如一個和弦可分解為其組成的純音，一張影像可分解為其組成的空間頻率。低頻描述緩慢、寬廣的變化（整體明暗、大片平滑區域）；高頻描述快速變化（銳利邊緣、細紋理與雜訊）。轉到這個頻率域，能把許多空間運算變得簡單得多。

形式上，M 乘 N 影像 f 的二維離散傅立葉轉換為 F(u,v) = 對 x,y 求和 f(x,y) * exp(-j*2*pi*(u*x/M + v*y/N))，每個頻率對 (u,v) 對應一個複數。其大小給出該頻率的強度（通常以幅度頻譜顯示，並透過 fftshift 把直流即零頻項移到中心），其相位則編碼特徵所在之處；在知覺上，相位承載了影像大部分的結構。快速傅立葉轉換（FFT）使計算可行，它把成本從 N 平方階降到 N log N 階。

回報就是卷積定理：空間域中的卷積等於頻率域中簡單的逐點相乘。於是濾波變成「把影像頻譜乘上濾波器頻譜，再轉換回來」，往往比大型空間卷積更快，且概念上一目了然。低通濾波器保留頻譜中心（平滑），高通保留外圍（邊緣/銳化），帶通保留一圈環，而陷波（notch）濾波器刪去特定頻率以消除週期性干擾，例如掃描器條紋或電源線嗡聲。陷阱在於：DFT 假設影像週期性鋪排，因此不匹配的對邊會造成十字形頻譜瑕疵（以加窗 windowing 化解），而理想的磚牆式濾波器會造成振鈴（吉布斯現象），所以較偏好高斯或 Butterworth 等平滑濾波器。