雙曲面模型（hyperboloid model）
圓盤與半平面模型是把雙曲平面扭曲以塞進紙面的平面地圖。雙曲面模型反其道而行：它把雙曲平面從平面紙上抬起，實現為一個真正住在三維空間中的彎曲曲面，那裡毫無壓縮、幾何原封不動地擺在那兒——代價是採用一種不尋常的距離量法。這曲面是雙葉雙曲面的一葉，即 x^2 + y^2 - z^2 = -1 且 z > 0 的碗形圖，懸於原點上方。
玄機在於量法。你不用普通的歐氏距離，而用閔考斯基形式，正是愛因斯坦相對論用於時空的同一套代數：向量 (x1, y1, z1) 與 (x2, y2, z2) 的「內積」是 x1 x2 + y1 y2 - z1 z2，最後一項帶負號。在這條勞侖茲法則下，雙曲面的點恰是雙曲平面的點，而雙曲「直線」（測地線）是雙曲面被一個過原點的平面所切出的曲線——乾淨利落，正如大圓是球面上的測地線。雙曲幾何的剛體運動化為狹義相對論的勞侖茲變換。
何必要第三個模型？因為它是統合者。克萊因圓盤其實就是雙曲面從原點投影到平面 z = 1 上的影子，而龐加萊圓盤是它從點 (0, 0, -1) 的投影——所以雙曲面是主圖，兩個平面模型都是從它落下的不同影子。它也讓雙曲幾何與相對論的親緣關係顯露無遺：在精確的意義下，雙曲平面就是速度空間的單位球面。一個誠實的提醒：那個奇怪的負號不是可有可無的裝飾——它正是負曲率的來源，把它讀成普通歐氏距離只會得到胡言。
頂點 (0, 0, 1) 在雙曲面上，因為 0 + 0 - 1 = -1。用過原點的鉛直平面 y = 0 去切此曲面：切痕是曲線 x^2 - z^2 = -1，一條雙曲線，而那曲線正是一條雙曲直線。把整個碗從原點向下投影到 z = 1，便把它壓平成克萊因圓盤，使每條這樣的測地線變成一條直弦。
雙曲平面化為一張以閔考斯基負號量度的彎曲曲面；圓盤模型是它投影出的影子。
x1 x2 + y1 y2 - z1 z2 中的負號正是關鍵——它是相對論的閔考斯基（勞侖茲）形式，不是普通歐氏距離。把它讀成歐氏的，模型就坍成毫無意義。