霍爾-佩奇關係（Hall-Petch relationship）
/ HAWL-PETCH /
霍爾-佩奇關係是晶粒尺寸強化中算數字的一面：一條簡單的公式，說明金屬隨著晶粒縮小會變強多少。它把定性的想法（小晶粒較強）化成你可以繪圖、可以拿來設計的東西。
方程式為 sigma_y = sigma_0 + k_y times d^(-1/2)，其中 sigma_y 是降伏強度，d 是平均晶粒直徑，sigma_0 是基礎應力（晶粒內部對滑移的阻力，也就是晶界以外的一切），k_y 是一個常數，衡量該金屬中晶界擋住滑移的能力有多強。關鍵特徵是那個 d^(-1/2)：強度隨晶粒尺寸的平方根倒數上升，所以把晶粒直徑減半，並不會讓晶界效應加倍，而是乘上根號 2、約 1.41 倍。把 sigma_y 對 1/sqrt(d) 作圖會得到一條直線，sigma_0 與 k_y 就是這樣量出來的。
這個平方根形式來自堆積的圖像：最終迫使滑移進入下一顆晶粒的應力，隨排隊差排數目的平方根成長，而後者又與晶粒尺寸有關。霍爾-佩奇從毫米級晶粒一路到約 20 到 100 奈米都很準；再往下它會變平、甚至反轉（逆霍爾-佩奇效應），因為極小的晶粒是靠晶界滑動而非內部滑移來變形的。它是有實際極限的經驗擬合，不是精確的定律。
對一種 sigma_0 = 70 MPa、k_y = 0.74 MPa times sqrt(m) 的鋼：d = 0.01 mm（10 微米 = 1e-5 m）的晶粒給出 1/sqrt(d) = 316（每 sqrt(m)），於是 sigma_y = 70 + 0.74 x 316 = 約 304 MPa。縮到 d = 1 微米時 1/sqrt(d) = 1000，得 sigma_y = 70 + 740 = 約 810 MPa。
降伏強度對 1/sqrt(晶粒尺寸) 的直線擬合，讓工程師能從顯微組織預測強度。
霍爾-佩奇是經驗式，在奈米尺度會失效；別把它外推到只有幾奈米大的晶粒，那裡強度不再上升、甚至可能下降。