阿達馬因式分解定理（the Hadamard factorization theorem）
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n 次多項式可完全因式分解：p(z) = c 乘以其 n 個根上 (z - a_k) 的乘積，一旦知道根與首項常數，你就知道整個多項式。整函數能否同樣由其零點重建？幾乎可以。魏爾斯特拉斯因式分解定理原則上已說可以，但它讓結構保持鬆散。阿達馬定理是有限階函數的精確版本：它精準釘住零點上的乘積必須如何構築，以及允許多出哪個指數因子，兩部分都由階 rho 主宰。
陳述如下：設 f 為有限階 rho 的整函數，在原點有 m 階零點，其餘零點為 a_1, a_2, ...（按重數）。則 f(z) = z^m 乘以 e^(g(z)) 乘以零點上的典範乘積 P(z)，其中有兩件事由 rho 控制。第一，典範乘積 P(z) 由魏爾斯特拉斯基本因子 E_p(z/a_k) 構築，其虧格 p 等於 rho 的整數部分（更精確地，p 是使零點指數和收斂的最小整數，且 p <= rho）。第二，g(z) 是次數至多為 rho 的多項式。所以那個「神秘的」指數因子 e^(g) 並非任意——其次數受階界定。反過來讀：階、零點密度、與因式分解是同一事實的三種視角。例如，一個有無窮多零點的階 1 函數，其 g(z) 次數至多為 1，即 g(z) = a z + b，並配一個虧格 0 或虧格 1 的乘積。
阿達馬定理是整函數理論的結構之冠。它驅動小皮卡定理的證明，讓你能從零點辨識函數（這正是證明 sin z 乘積公式的方式，其 g 次數為 0、乘積虧格為 1），並支撐黎曼 zeta 函數與伽瑪函數的分析。決定性的提醒：它要求有限階。像 e^(e^z) 這樣的函數階為無窮，沒有阿達馬形式，完全落在這幅乾淨圖像之外——對這類函數，你能得到的只有較鬆散的魏爾斯特拉斯因式分解。
把阿達馬定理用在 sin(pi z)。它是階 1 的整函數，在每個整數處有零點。定理迫使 g(z) 次數至多為 1，並配一個虧格 1 的典範乘積。比對導數在 0 處的值便把 g 釘為常數，得出著名公式 sin(pi z) = pi z 乘以 n >= 1 上 (1 - z^2 / n^2) 的乘積。階決定了整個形狀；只有一個常數需要手動確定。
阿達馬定理由 sin(pi z) 的階與零點迫出它的形式——乘積公式幾乎是不可避免的。
阿達馬定理需要有限階；對無窮階只有較弱的魏爾斯特拉斯因式分解存留。而乘積的虧格與 g 的次數都受階界定——未必等於階——所以讀出它們需要謹慎。