高斯過程的樣本路徑連續準則（sample-path continuity criteria）

柯爾莫哥洛夫存在定理造出高斯過程，卻對其樣本路徑是否連續、有界、抑或無可救藥地不規則隻字未提。連續（與有界）準則填補此缺口：它們給出對共變異數、或對度量熵的可檢驗條件，使過程的某個版本具連續路徑。對高斯過程，答案異常乾淨——連續性完全由指標集在過程自身度量下的幾何主宰。

有兩條標準路線。(1) 柯爾莫哥洛夫連續性準則（不限高斯）：若 E[ |X_s - X_t|^p ] <= C |s - t|^(1 + beta)（某 p, beta > 0），則 X 有一版本，其路徑為任意階 < beta/p 的 Holder 連續。對高斯過程，因 E[(X_s - X_t)^2] = d(s,t)^2 且高階動差是二階的冪次，此僅需典範距離 d(s, t) = sqrt(E[(X_s - X_t)^2]) 的多項式界，便給出 Holder 路徑。(2) 熵準則（Dudley，對高斯銳利）：以全有界 (T, d) 為指標的中心化高斯過程，只要 Dudley 熵積分收斂 integral_0^infinity sqrt( log N(T, d, epsilon) ) d epsilon < infinity，便有一版本具有界、一致連續的樣本路徑。界定 E[sup] 的同一積分也迫使連續性，因為鏈式不僅控制上確界，更控制每個尺度上的連續模。要使上確界僅僅有限（有界性），此熵積分收斂本質上即正確條件；Talagrand 的優控測度定理使刻畫精確。

重要性：這些準則是你得以把高斯過程當作隨機連續函數（C(T) 的元素）的依據，而這正是 C(T) 上高斯測度、上確界可測、以及布朗運動李維連續模的前提。誠實的細節：連續性是某個「版本」的性質（你選取一個連續代表；乘積空間構造中並非每個實現都連續），且熵條件充分但作為單一積分可能非必要——精確準則需優控測度，而非僅覆蓋數。