高斯等周不等式（Gaussian isoperimetric inequality）
在給定高斯測度的所有集合中，哪個的「邊界」最小——等價地，膨脹最慢？古典等周不等式說球在固定體積下使表面積最小；高斯等周不等式（Borell；Sudakov-Tsirelson）說對標準高斯測度，極值集合是「半空間」。這單一的幾何事實是高斯測度集中——「眾多高斯的任何不太狂野的函數幾乎是常數」這一現象——最深的源頭。
設 gamma_n 為 R^n 上的標準高斯測度，記 A_r = { x : dist(x, A) <= r } 為集合 A 的 r-膨脹。不等式陳述：在所有具給定 gamma_n(A) 的可測 A 中，膨脹 gamma_n(A_r) 在 A 為半空間時最小。記 Phi 為標準常態分布函數、Phi^(-1) 為其反函數，銳利陳述為對所有 r >= 0，gamma_n(A_r) >= Phi( Phi^(-1)(gamma_n(A)) + r )，半空間時取等號。維度 n「不」出現在界中——右側是一維的。直接後果是集中：若 gamma_n(A) >= 1/2，則 gamma_n(A_r) >= Phi(r) >= 1 - exp(-r^2/2)，故任何半質量集合的 r-鄰域，一旦 r 達幾個單位便幾乎涵蓋全部測度。等價地，每個 1-Lipschitz 函數 f 滿足 gamma_n( | f - median f | >= r ) <= 2 exp(-r^2/2)：標準高斯向量的 Lipschitz 函數在其中位數附近為次高斯，常數與維度無關。
重要性：這是 Borell-TIS（高斯過程的上確界是底層高斯向量的 Lipschitz 函數，故集中）、高維高斯模型的無維行為、以及對數索伯列夫／超收縮故事（高斯等周輪廓與對數索伯列夫不等式是同一高斯曲率的兩面）背後的引擎。一個須避免的疏失：常數確實與維度無關，但函數須相對「歐氏距離（按高斯標準差標度）」為 Lipschitz；在某些方向陡峭的函數未必集中。
R^n 上的歐氏範數 f(x) = ||x|| 為 1-Lipschitz。高斯等周給出 gamma_n( | ||x|| - m | >= r ) <= 2 exp(-r^2/2)，其中 m 為 ||x|| 的中位數（約 sqrt(n)）。故高維中的標準高斯向量棲居於半徑約 sqrt(n)、寬度 O(1) 的薄殼上——範數的集中，由等周不等式免費得到。
半空間是極值集：高斯的每個 1-Lipschitz 函數都以與維度無關的高斯尾集中。
集中常數與維度無關，但 Lipschitz 是以歐氏（按 sigma 標度的）度量衡量；在某坐標陡峭的函數仍可能波動很大。