伽瑪函數的反射公式

反射公式是伽瑪函數與普通三角學之間一座驚人乾淨的橋：Gamma(z) Gamma(1-z) = pi / sin(pi z)，對每個非整數 z 都成立。左邊是兩個輸入相加為 1 的伽瑪值——z 與 1-z 是關於點 1/2 互為鏡像。右邊是初等的正弦函數。它說，那兩個超越的伽瑪值之乘積，不過就是 pi 除以一個正弦而已。這是整個分析學中最美的恆等式之一。

它為何成立，從精神上說？倒數 1/Gamma 是一個整函數，其零點恰好落在整數 0, 1, 2, ... 與 0, -1, -2, ... 上。因此乘積 1/(Gamma(z) Gamma(1-z)) 在每個整數（正的與負的）處都有零點——這恰好是 sin(pi z) 的零點集，後者正好在整數處消失。把這兩個零點相同、增長相同的整函數對上（再核對一個值），就迫使 1/(Gamma(z)Gamma(1-z)) = sin(pi z)/pi，這正是公式的重排。最乾淨而誠實的路線，是經由 1/Gamma 的魏爾斯特拉斯乘積與正弦的歐拉乘積 sin(pi z) = pi z * product over n of (1 - z^2/n^2)。

這個公式是一匹工作馬。取 z = 1/2：則 Gamma(1/2)^2 = pi/sin(pi/2) = pi，不用算任何積分就還原出 Gamma(1/2) = sqrt(pi)。它也讓你能把輻角接近負數的伽瑪值，換成一個正輻角的伽瑪值，這在計算積分與ζ函數的函數方程中極為寶貴。一個要尊重的細節：公式在整數處失效，因為 sin(pi z) = 0 使右邊爆炸——但那恰恰是兩個伽瑪因子之一有極點之處，所以兩邊都「無窮」得一致。