一對一、映成與雙射函數（injective, surjective, bijective functions）

函數是一條規則，把每個輸入送到恰好一個輸出——就像一台自動販賣機，按下一個按鈕總是給出一件特定的商品。有三個形容詞描述函數如何把輸入與輸出對應起來。單射（「一對一」）表示沒有兩個不同的輸入共用同一個輸出；滿射（「映成」）表示每個可能的輸出都確實被用到；雙射則是兩者兼具——完美的配對，沒有重複、也沒有剩餘。

先補一些詞彙：從 A 到 B 的函數 f（寫作 f : A → B）有定義域 A（允許的輸入）、對應域 B（輸出可以落腳的地方）、與值域（實際出現的輸出）。那麼：若 f(x) = f(y) 必使 x = y（不同輸入給不同輸出），f 是單射；若對 B 中每個 b 都存在某個 a 使 f(a) = b（值域填滿整個對應域），f 是滿射；若兩者皆是，f 是雙射，意味著它把 A 與 B 完美配對，並且可以反向運行成反函數。把一個數加倍，x 送到 2x，是單射（不同輸入、不同加倍）但映到整數上不是滿射（沒有整數加倍得到 3）。把人分成「是否大於 18 歲」對 {是, 否} 是滿射，卻嚴重不是單射。

雙射是計數與比較集合大小的支柱，連無限集合也適用：兩個集合大小相同，恰好當它們之間存在一個雙射。把這個單一想法推到無限集合，正是後面區分可數與不可數的依據，也是 Cantor 對角線論證的動力。單射也直接重要：把機器合理地編碼成字串時，必須是單射，這樣才不會有兩台不同的機器拿到相同的編碼，解碼也才不會含糊。