下溢與浮點陷阱

浮點能表示極大的範圍，但兩端的範圍都不是無限的。溢位是大家熟悉的問題：一個大到無法表示的結果變成無窮。下溢是它在小端的鏡像：一個太接近零的結果，落到格式允許的最小指數以下，於是這個數向零塌縮、失去剩餘的位數。想像一把刻度最細處不再更細的尺——比最小刻度還小的長度根本畫不出來，所以讀作零。

IEEE-754 用次正規（非正規）數來緩和下溢的斷崖。一般每個值都有一個隱藏的領頭 1，但對小於最小正規數的量值，格式放棄這個要求、讓領頭位元可以是零，於是它仍能表示比最小正規數逐步更小的值——漸進下溢，向零淡出而非瞬間跳到零。代價是精度：次正規數越小帶的有效位元越少，而且在某些硬體上慢得多，這就是為什麼高效能程式有時啟用「沖刷為零」模式，把次正規數當成精確的零（較快，但較不準確）。

下溢只是浮點那一冊誠實意外裡的一條，初學者該預期它們而非驚慌。加法與乘法不滿足結合律：(a + b) + c 可能不同於 a + (b + c)，所以求和的順序會改變答案，平行歸約也可能與串列的不符。你以為相等的數可能並不相等（二進位裡 0.1 + 0.2 不剛好是 0.3），所以你要用容差比較、而非精確相等。相減幾乎相等的數會摧毀精度（災難性抵銷）。標準還定義了特殊值——正零與負零、正負無窮、以及給 0/0 之類用的 NaN（非數值），其中 NaN 不等於任何東西、包括它自己。這些都不是錯誤；它們是一個以精確性換取範圍與速度的系統，有文件記載、可重現的行為。