快速卷積（fast convolution）
快速卷積是卷積定理的實際應用：它是把卷積透過 FFT 來計算、而非硬磨滑動求和定義的實用日常技術。一個殘響外掛能即時把吉他軌與一段十秒的大教堂錄音卷積，一個大整數函式庫能在一眨眼間相乘千位數的數字，靠的都是它。
其流程是卷積定理三步配方的具體化。要把訊號 x（長 M）與濾波器 h（長 L）卷積：選一個至少為 M + L - 1 的轉換長度 N（通常向上湊到方便的 FFT 大小，如 2 的冪）；把 x 與 h 都補零到長 N；計算它們的 FFT，逐點相乘兩個頻譜，再取反 FFT。結果就是精確的線性卷積，以 O(N log N) 時間算出，而非 O(M * L)。補零到 M + L - 1 正是防止 FFT 的循環環繞汙染答案的關鍵。當一個輸入是連續串流、另一個是短的固定濾波器時，你把串流分成重疊區塊處理再縫合——即重疊相加（overlap-add）與重疊保留（overlap-save）法——使一段長錄音能以每區塊穩定、有界的工作量被濾波。
快速卷積並非總是贏家，誠實地說這很重要。FFT 路線有固定開銷，所以對「短」濾波器（少數幾個抽頭）而言，直接求和其實更快也更簡單；FFT 法要等濾波器夠長——大約數十個抽頭以上——才划算。它也假設你能緩衝足夠的樣本，這會增加延遲，不適合某些即時迴路。又因為一切以浮點運行，答案帶有正常的捨入；要得到精確的整數結果（如大整數乘法），人們會用數論轉換或謹慎縮放，使捨入能被精確消除。
對一段 100,000 樣本的音訊套用 500 抽頭的濾波器。直接卷積約需 5 * 10^7 次乘加。用 1024 點 FFT 區塊的重疊相加法把它降到幾百萬次運算——快到足以即時運行。大整數乘法用相同想法：數字位成為訊號樣本，一次 FFT 卷積便相乘千位數的數字。
長濾波器與大整數乘積，都敗給以 FFT 為基礎的卷積。
對短濾波器，直接求和勝過 FFT——轉換的固定開銷要超過幾十個抽頭才划算。而浮點的 FFT 卷積是近似的；需要精確整數的應用要用數論轉換或保證可還原的縮放。