分解一次、求解多次

想像你得替一百個不同的人打開同一扇門。你可以每次從頭打造一把新鑰匙——或者只配一把好鑰匙，然後傳著用。「分解一次、求解多次」就是把這第二種策略用在線性系統上：當你必須對同一個矩陣 A、但許多不同的右端 b 解 A x = b 時，你只對 A 做一次昂貴的工作，然後對每個 b 重複使用。

具體來說，解 A x = b 中昂貴的部分是消去，它產生 LU 分解 P A = L U，成本約 2 n^3 / 3 次浮點運算。但一旦有了 L 與 U，對任何新的 b 求解就只是兩次三角求解——前代解 L y = P b，再回代解 U x = y——各只約 n^2 次。所以第一次求解花 O(n^3)，之後每個新 b 只花 O(n^2)。對 k 個右端，你付一次立方分解加上 k 次便宜的二次求解，而非 k 次完整的立方消去。

這是 LU（與喬列斯基）分解被算出並儲存、而非用完就丟的最重要實務理由之一。它無處不在：隱式時間步進每一步都重用同一個分解，最佳化用同一矩陣搭配更新的梯度求解，反問題反覆碰到同一個 A。這也是你絕不會用求逆的方式解 A x = b 的原因：構造 A 的逆比起保留分解並重用，既更花功夫又更不準確。唯一注意點：若 A 本身改變，存下的分解就過時了，必須重算（或便宜地更新）。