共形映射的極值問題（extremal problem for conformal maps）

在沒有公式時，你如何憑空變出一個映到圓盤的共形映射？黎曼映射定理的標準證明用一個最佳化的技巧做到：在所有「被允許」的映射中，挑出在基點把定義域張開得最廣的那一個，再證明這個最貪婪的映射恰好就是你要的共形映射。貪婪由基點處導數的大小 |f'(z_0)| 來衡量——導數大意味著映射在那裡放大得猛烈，直覺上放大最多的映射必定填滿整個圓盤。

以下是分步驟的構造。在單連通定義域 D（非整個平面）中固定基點 z_0。設 F 為所有滿足 f(z_0) = 0、由 D 映入單位圓盤的單射全純映射 f 所構成的族。先驗證 F 非空（一個對數加莫比烏斯的構造造出這樣一個映射，利用 D 漏掉某個值）。該族被 1 所界，故由蒙泰爾為正規。現在考慮 F 上 |f'(z_0)| 的上確界；此上確界有限（柯西估計）且為正。取 F 中序列 f_n 使 |f_n'(z_0)| 趨近上確界。由蒙泰爾，抽出局部一致收斂的子序列；其極限 f 全純（魏爾斯特拉斯），且 |f'(z_0)| 等於上確界，故 f 達到極大。赫爾維茨定理保證此極限 f 仍為單射（單射全純函數的局部一致極限為單射或常數，而 f'(z_0) > 0 排除常數）。最後決定性的一步用施瓦茨引理：若極值 f 並未覆蓋整個圓盤，你可以與一個巧妙的平方根加自同構映射複合，製造出一個在 z_0 處導數「嚴格更大」的競爭者，與極大性矛盾。因此 f 必須映滿——而一個映滿、單射、全純、映到圓盤的映射就是黎曼映射。

此論證之美在於它把存在性問題轉換成緊性能解的最佳化：你從不把映射寫下來，你證明極大者存在，再說明極大性迫使你需要的每個性質。同樣的極值哲學——找出最佳化某泛函的函數，並從其最佳性讀出性質——在幾何函數論中反覆出現（極值長度、面積定理、洛伊納理論）。誠實的提醒：證明確實是非構造性的。它保證極大者存在並指認其為黎曼映射，卻不提供計算它的食譜，而巧妙的平方根步驟要求定義域單連通，使得非零函數的單值平方根得以選取。