誤差放大（error amplification）

誤差未必甘於一直保持渺小。當計算一步步向前推進時，某一步誕生的微小誤差會被帶往後續步驟，有時縮小、有時持平、有時增長——一步接一步地相乘，直到主宰結果。誤差放大就是誤差在計算中傳播時的這種增長，而理解它何時、為何發生，是區分穩定與不穩定方法的核心。

誤差被放大有兩種截然不同的途徑，把它們分開至關重要。第一種是問題自身造成的：病態問題會一口氣以其條件數放大輸入誤差——對任何演算法都無可避免。第二種是演算法造成的：一連串運算可能把捨入誤差養大，而次序更好的計算本不會如此，這正是不穩定的特徵。一個好用的心智模型是「每步放大因子」：若每一步把誤差乘以因子 g，則 n 步之後誤差按 g^n 縮放。g 大於 1 就指數爆炸；g 至多為 1 則誤差受控。這正是分析迭代與時間步進格式所用的視角，其中穩定性取決於把放大因子的大小保持在不超過 1。

對這兩個來源誠實，能讓你不去追逐幻影。若誤差因問題病態而增長，再怎麼重排或加檢查都擋不住它——放大是內在的。若它因演算法調度運算不當而增長（抵消、把遞迴跑在不穩定的方向、顯式格式超出穩定極限），那麼重新表述計算就能馴服它。放大因子的形式化，正是把這種模糊的擔憂變成精確、可檢查之條件的工具。