轉移函數（transfer function）

轉移函數是線性系統的指紋：一個單一的代數式 G(s)，精確告訴你這系統如何把任何輸入變成輸出。把它想成一份用拉普拉斯變數 s 寫成的食譜——把輸入乘上 G(s)，等同於在時域裡與脈衝響應做卷積，只是化成了純代數而非微積分。它定義為輸出對輸入之比，G(s) = Y(s) / X(s)，前提是系統從靜止狀態出發。

它真正的價值藏在分子與分母裡。分母的根是極點——決定系統如何自然地鳴響、衰減或發散。分子的根是零點——塑造哪些頻率被擋掉或被放大。一個二階受控體如 ω_n² /（s² + 2ζω_n s + ω_n²），把整個「性格」——它的快慢（ω_n）、阻尼（ζ）、會不會過衝——全壓進四個符號裡。一旦握有 G(s)，整箱工具就打開了：你能預測步階響應、畫波德圖、判斷穩定性，全程不必親手解一條微分方程。