根軌跡（root locus）

根軌跡是一張地圖，顯示當你只轉一個旋鈕——通常是控制器增益 K——從零一路調到無窮大時，閉迴路系統的極點如何在複數平面上遊走。記得閉迴路極點決定穩定性與響應，但改變增益時它們會移動。與其對每個 K 重解一次特徵方程，根軌跡一次畫出它們全部的路徑，讓你一眼看出哪個增益能把每個極點安全留在左半平面、哪個增益會把某個極點推過去進入不穩定。

這張圖遵循 Walter Evans 於 1948 年發現的優雅規則：分支從開迴路極點（K = 0）出發、止於開迴路零點（K = ∞），沿著實軸上「右側極零點數為奇數」的區段行進，並在可預測的角度上分離去追逐漸近線。收穫是設計直覺：你能看見提高增益會加快響應，但終究會把一對極點拽過虛軸進入振盪，而你可以擺一個控制器零點去彎折軌跡、重塑那道取捨。它是「我的極點在哪？」與「該選多少增益？」之間的經典橋樑。