吸引域（domain of attraction）

中央極限定理說有限變異數的獨立同分布變數經適當標準化後收斂到常態。但這只是更廣問題的一個特例：給定一個穩定律，哪些分布在求和並標準化後會收斂到它？所有這類分布構成它的吸引域。常態的吸引域極大（含每個有限變異數分布）；其他穩定律各有自己的吸引域，由尾部刻畫。

分布 F 屬於指數 alpha 之穩定律的吸引域，若存在標準化常數 a_n > 0 與置中 b_n，使 (X_1 + ... + X_n - b_n)/a_n 依分布收斂到該穩定律，其中 X_i 為取自 F 的獨立同分布。刻畫是一個尾部條件（格涅堅科—柯爾莫哥洛夫）。對常態（alpha=2）：F 屬其吸引域當且僅當截斷二階動差緩變，這尤其包含每個有限變異數分布（及少數變異數勉強發散的無窮變異數分布）。對非高斯穩定律（alpha < 2）：F 屬其吸引域當且僅當 F 有指數 -alpha 的正則變化尾，即 P(X > x) ~ p L(x) x^(-alpha) 與 P(X < -x) ~ q L(x) x^(-alpha)，L 緩變且 p + q = 1 固定偏度；所需標準化為 a_n ~ n^(1/alpha) L'(n)（一個正則變化序列）。

吸引域之所以重要，在於它解釋何時和近似高斯、何時為重尾穩定，並把驚人的普適性精確化：只有被加項的尾部行為（而非其精細結構）決定極限。誠實的微妙處：並非每個分布都屬於任何吸引域（尾部在兩個不同冪律速率間振盪的分布可能根本沒有穩定極限），且課本中央極限定理嚴格的 1/sqrt(n) 標準化在 alpha=2 與 alpha<2 的邊界（變異數有限但勉強有限的情形）必須放寬為緩變修正的 a_n。