狄利克雷形式（Dirichlet form）
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狄利克雷形式是編碼對稱（可逆）馬可夫過程的變分、能量式方法：你不以生成元或轉移半群描述動力學，而以函數上的二次「能量」泛函描述之，並有一個出色的對應（Beurling-Deny／福島理論）在兩者間翻譯。這個觀點能在粗糙空間上——碎形、圖、無窮維空間——構造並分析馬可夫過程，在那裡寫出微分型生成元是無望的，它也是龐加萊與對數索伯列夫不等式的天然歸宿。
定義：在 L^2(E, mu) 上，狄利克雷形式是一個雙線性映射 E(f, g)，稠定於某定義域 F，F 在範數 E(f, f) + ||f||^2_(L^2) 下是希爾伯特空間，且 E 對稱（E(f, g) = E(g, f)）、非負（E(f, f) >= 0）、閉（F 完備），並關鍵地具「馬可夫性」：在正規收縮下能量不增——若把 f 截到單位區間，譬如以截斷 f* = min(max(f, 0), 1) 代替 f，則 E(f*, f*) <= E(f, f)。此對應為：閉的對稱形式 E 與 L^2(mu) 上的非正自伴算子 A 一一對應，透過 E(f, g) = - integral (A f) g dmu（故 A 是生成元），因而與強連續對稱收縮半群 P_t = e^(tA) 對應；形式的馬可夫（收縮）性「正是」使該半群保正且次馬可夫者，福島定理進而把正則狄利克雷形式對應到一個真實的 mu-對稱 Hunt（càdlàg 強馬可夫）過程。原型是狄利克雷能量 E(f, f) = (1/2) integral |grad f|^2 dx，其生成元是拉普拉斯算子、其過程是布朗運動。
重要性：狄利克雷形式路徑正是讓人不靠任何光滑性就嚴格建立擴散、並分析其譜隙與泛函不等式的方法——在碎形上、在路徑／環路空間上、在粒子系統的組態空間上——它也讓可逆性／自伴性結構顯明且可計算。誠實的範圍：如此乾淨陳述的理論是針對「對稱」（可逆）過程；非對稱狄利克雷形式存在，但精緻得多，而形式的「正則性」（與 E 的拓撲相容）是在保證有良好相伴過程之前所需的真實假設，並非天上掉下的午餐。
H^1(R^d) 上的經典狄利克雷形式 E(f, f) = (1/2) integral_(R^d) |grad f|^2 dx，經由分部積分 E(f, g) = -integral (A f) g dx 對應到生成元 A = (1/2) Delta，因而對應到熱半群與布朗運動。在離散圖上，類比形式 E(f, f) = (1/2) sum over edges (f(x) - f(y))^2 給出圖拉普拉斯算子與一個可逆隨機漫步。
狄利克雷能量是布朗運動的變分指紋；同一配方用在圖上得到一個可逆漫步。
乾淨的對應是針對對稱（可逆）過程；形式的馬可夫（正規收縮）性與正則性是必要假設，並非身為二次形式即自動成立。