藉對角化解耦（decoupling by diagonalization）
一個耦合方程組之所以困難，正是因為每個未知函數的命運都和其他的糾纏在一起。但如果你能找到一組巧妙的新座標，使方程在其中乾脆散開，每個新變量都完全自行演化、不理會其餘的，那會如何？當矩陣可對角化時，你就辦得到，這個技巧稱為藉對角化解耦。
假設 A 有 n 個獨立的特徵向量。建一個以這些特徵向量為各行的矩陣 P；則 P^(-1) A P = D，一個帶著特徵值的對角矩陣。用 y = P^(-1) x 換變量（於是 x = P y）。代入 x' = A x 並左乘 P^(-1) 得 y' = D y。因為 D 是對角的，這就是 n 條分離的純量方程：y1' = lambda_1 y1、y2' = lambda_2 y2，依此類推，徹底解耦，每一條都瞬間解得 y_i = c_i e^(lambda_i t)。最後用 x = P y 變換回去，還原出原來的未知函數。新座標 y 不過是 x 沿各特徵向量方向的分量，這正是為什麼耦合在其中消失。
對角化是特徵值方法的概念核心，它解釋了特徵向量到底為什麼重要。在特徵向量座標下，方程組真正是一疊互相獨立的一維問題，整套理論中最簡單的物件。它誠實的極限：當 A 是虧損的（一個重複特徵值缺少特徵向量）時，它無法被完全對角化，你最多只能做到近乎對角的若爾當形，其中小小的耦合殘存在那些 t 項裡。
對 A = [1, 2; 0, 3]，特徵向量為 (1,0)、(1,1)，設 P = [1, 1; 0, 1]；則 P^(-1) A P = [1, 0; 0, 3] = D。方程組變成 y1' = y1、y2' = 3 y2，解得 y1 = c1 e^t、y2 = c2 e^(3t)；再用 x = P y。
在特徵向量座標下矩陣是對角的，所以各方程不再互相牽連。
藉對角化解耦只有在 A 擁有完整的 n 個獨立特徵向量時才行得通。虧損的矩陣不可對角化，你最多得到若爾當形，其中殘餘的耦合留在每個若爾當塊內。