收縮映射條件（contraction-mapping condition）
為什麼反覆按 cos 會穩定下來，而某些別的規則卻飛散？決定性的因素在於每一步是把點「拉近」還是「推遠」。一個總是縮短任意兩個輸入之間距離的規則，稱為收縮（contraction），而收縮正是讓不動點迭代收斂的關鍵。
把它說精確。在 x = g(x) 的不動點 x* 附近，記誤差 e_n = x_n - x*。因為 g(x*) = x*，泰勒展開給出 e_{n+1} = g(x_n) - g(x*) 約等於 g'(x*) * e_n。所以每一步把誤差大約乘上 g'(x*)。若 |g'(x*)| < 1，誤差幾何級數地縮小，迭代收斂（線性收斂，速率為 |g'(x*)|）；若 |g'(x*)| > 1，誤差變大，迭代發散；若 |g'(x*)| = 0，便得到超線性收斂（這就是牛頓法二次速度的祕密）。完整的定理（巴拿赫不動點定理）說：若在一個被 g 映回自身的區間上 |g'(x)| <= L < 1，則 g 在其中有「唯一」不動點，且從區間內任一起點迭代都收斂到它。
由此得到兩個實用教訓。第一，對於簡單的 |g'(x*)| 檢驗，條件是根附近的「局部」性質，所以好的起始猜測很重要；全域的巴拿赫版本還額外要求 g 把你留在區間內。第二，|g'(x*)| 的大小決定速度：接近 0.99 的值收斂得令人痛苦地慢（要多得十位數約需 2300 步），而接近 0 的值飛快。這就是為什麼我們努力把 f(x) = 0 改寫成根處 g' 很小的 x = g(x)，也是為什麼把 g'(x*) 逼到零的牛頓法，比一般的不動點方案快得多。
對 g(x) = cos(x)，不動點為 x* = 0.739，g'(x*) = -sin(0.739) = -0.674，|g'| = 0.674 < 1——所以迭代收斂，但僅線性：每步保留約前一誤差的 0.674，大約六步多得一個十進位有效位。對 g(x) = x^2 - 1 在 x* = 1.618，g'(x*) = 2 * 1.618 = 3.24 > 1，故迭代發散。
|g'(x*)| < 1 即收斂；越接近 0，收斂越快。
|g'(x*)| < 1 只在你起步夠近時保證收斂（且就全域定理而言，g 要把區間映回自身）。恰好 |g'(x*)| = 1 時檢驗無法判定——迭代可能緩爬、振盪或停滯。