組態模型（the configuration model）

組態模型是建構具有指定度數序列之隨機圖的標準方法。厄多斯-雷尼強制出卜瓦松度數分布，而真實網路違反這點；組態模型藉由容你精確指定每個頂點有多少鄰居、再盡可能隨機地連接它們來修正此事。它回答的問題是：在所有具給定度數列的圖中，一張均勻隨機者長什麼樣，又如何生成與分析它？

其建構是半邊配對（pairing）配方。給頂點 i 配 d_i 個半邊或「殘樁」（stub）伸出；殘樁總數必須為偶，設為 2m。然後對全部 2m 個殘樁均勻隨機地選一個完美配對成 m 對，並對每一配對的兩端在對應頂點間畫一條邊。結果是一個多重圖（可能出現自環與重邊）。兩個事實使它有用。其一，在條件於產生簡單圖（無環無重邊）之下，組態模型在所有具該確切度數序列的簡單圖上均勻分布——故它是均勻度數受限圖的真正抽樣器。其二，當度數具有界二階動差（sum d_i^2 為 n 階）時，為簡單圖的機率隨 n 增長恰好遠離 0；對更重尾的度數，自環與重邊會激增，此時改用多重圖或抹除／修復版本。組態模型的局部結構收斂到一個分支過程，其後代服從偏移一位的大小偏倚（size-biased）度數分布：隨機頂點的鄰居以正比於 k 乘以（度數為 k 的比例）的機率有度數 k——這就是經典的友誼悖論「你的朋友比你有更多朋友」。

組態模型是具寫實度數分布之稀疏網路的參考模型，也是現代網路上巨大連通分量、距離與傳染病理論最乾淨的場景。Molloy-Reed 判準陳述了相變：巨大連通分量存在當且僅當大小偏倚的超額度數之期望超過 1，即當且僅當 sum d_i(d_i - 2) > 0，等價地 E[D(D-1)]/E[D] > 1，其中 D 是隨機頂點的度數——這是對厄多斯-雷尼「平均度數大於 1」的精確推廣。誠實的提醒：除非條件於簡單，否則模型產生多重圖，而那種條件只在度數的二階動差條件下才表現良好；且分析假設度數序列本質上固定（或良好收斂），故它是度數序列的模型，而非如優先連接般的生成式增長模型——它不解釋網路為何有重尾，只讓你強加一個。