條件 Jensen 不等式（conditional Jensen inequality）
/ JEN-sen /
普通的 Jensen 不等式說：對一個凸函數——向上彎、像微笑或山谷的那種——平均之後再取函數，至多等於先取函數再平均：phi(E[X]) <= E[phi(X)]。條件版只是把每一個普通期望換成條件期望，同樣的不等式原封不動地保留下來，如今成立的是隨機變數之間、而非數字之間的關係。
精確地說：若 phi 是凸的、且 X 與 phi(X) 可積，則 phi( E[X given G] ) <= E[ phi(X) given G ]，幾乎必然成立。圖像與無條件情形完全相同：先把 X 平均、再透過凸曲線彎折，會偏低，因為凸性意味弦在曲線之上——把值攤開再彎折，總會把平均抬到彎折後平均之上。對 G 取條件不過是在每一塊資訊之內做這個平均，所以不等式逐塊成立，亦即成為兩個隨機變數之間的不等式。取 phi(x) = x^2 給出有用的推論 ( E[X given G] )^2 <= E[ X^2 given G ]，這正是條件變異數非負的種子。
條件 Jensen 是高等機率的一根沉默的脊樑。它證明了鞅的凸函數是下鞅（Doob 不等式背後的引擎），也支撐著取條件在 L^p 空間裡的收縮性質。與普通版相同的提醒：方向完全取決於凸性。對凹函數（向下彎、像小丘），不等式翻轉為 phi(E[X given G]) >= E[phi(X) given G]；對線性函數則是等式。把彎曲方向搞錯，符號就反了。
取 phi(x) = x^2。條件 Jensen 給出 ( E[X given G] )^2 <= E[ X^2 given G ]。整理後，E[ X^2 given G ] - ( E[X given G] )^2 >= 0——而左邊正是條件變異數 Var(X given G)，所以這個不等式恰恰就是條件變異數永不為負的陳述。
凸性把平均向上彎折，即使一次只在一塊資訊之內也是如此。
不等式的方向取決於凸性：凸函數給出 phi(E[X given G]) <= E[phi(X) given G]，凹函數則反向。套到形狀不對的函數上，符號就會錯。