反轉換取樣（inverse-transform sampling）

你的產生器只會給你均勻數——在 0 到 1 之間均勻散開的分數，就像一個完全公平的轉盤。但你的模擬需要「別種」形狀的數字：指數分布、常態分布、某個自訂分布。反轉換取樣就是那個俐落的把戲，只要你能把該分布的累積函數反轉，它就能把一個均勻數彎成你要的任何分布。

配方只有幾個字：U 進、X 出。取目標分布的累積分布函數 F(x) = P(X <= x)，它由 0 升到 1。抽一個均勻數 u 落在 [0, 1)，然後解 F(x) = u 求 x——也就是令 X = F^{-1}(u)，反累積分布函數（又稱分位數函數）。神奇之處在於 X 此時恰好服從分布 F。直觀上，F^{-1} 把均勻的線拉伸，使更多均勻質量落在目標想要更多機率的地方：F 攀升陡峭（高密度）的區域分到 [0, 1) 輸入的一大塊，於是點在那裡堆積。以速率 lambda 的指數分布為例，F(x) = 1 - e^(-lambda x) 反轉成 X = -ln(1 - u) / lambda，一行就是取樣器。

它精確又優雅，只要反累積分布函數有閉式或可廉價計算（指數、柯西、幾何分布，以及任何用累積搜尋的離散表），它就是黃金標準。誠實的限制在於那句「只要」：對許多重要分布——常態分布是頭號例子——F 沒有閉式反函數，所以單純反轉每抽一個樣本就得做一次數值求根或特殊函數計算，可能很慢。這正是為何常態分布有 Box-Muller 轉換這類專門技巧，也是為何 F 棘手時要退而求其次用拒絕取樣。