不適定問題

不適定問題是指至少違反阿達瑪三條件之一的問題：解可能不存在，或不唯一，或——最常見也最危險——解不連續地依賴於資料，因此輸入任意小的變化都可能造成輸出巨大的變化。問題在根源處就很脆弱，早於任何電腦碰它。

不穩定那一類，是數值工作者經常遇到的，尤其在反問題裡：試圖從結果回推原因。從模糊或不完整的測量重建影像、從稍後的溫度回推熱源、或對帶雜訊的資料做微分，都是經典例子。微分讓陷阱格外鮮明：若測量資料在頻率 omega 上帶有大小為 epsilon 的雜訊，樸素的導數會把它放大 omega 倍，於是在資料中看不見的高頻雜訊，在答案中爆炸。沒有聰明的演算法能修好這件事，因為不穩定性住在問題本身裡。

解方是改變問題，而非改變求解器。正則化（如吉洪諾夫正則化或截斷 SVD）注入一小劑先驗資訊或光滑性，馴服不穩定，以一點偏差換取大量穩定，把一個無望的問題變成一個可回答的鄰近問題。及早辨認不適定性——靠著問答案是否真的是資料的穩定函數——能讓你不去追逐這個問題永遠給不出的精度。