完全收斂定理（complete convergence theorem）

完全收斂定理回答了存活與消亡所留下的問題：既然接觸過程能存活，它的分布長程上究竟收斂到什麼，而答案如何依賴初始組態？它是（超臨界）接觸過程漸近行為的決定性描述，也是我們得以談論其平衡的緣由。「完全」之名源於描述的完整性：它釘住了每一個初始組態的極限分布，而不只是特殊的那些。

考慮 Z^d 上感染率 lambda > lambda_c、從任意初始組態 eta 出發的接觸過程。定理指出，當 t -> infinity 時 eta_t 的分布弱收斂到僅僅兩個不變測度的混合：集中於空（全健康）組態的平凡測度 delta_0，以及唯一的非平凡上不變測度 nu（從全位點被感染出發的極限）。精確地說，eta_t 的分布收斂到 alpha(eta) * delta_0 + (1 - alpha(eta)) * nu，其中 alpha(eta) = P(從 eta 出發的過程終將消亡)。故初始條件在極限中唯一能控制的，就是消亡的機率；在存活的條件下系統總是鬆弛到同一平衡 nu。證明結合了自對偶（把存活部分辨認為上不變測度）與超臨界接觸過程的精細估計，特別是存活蘊含被感染區域線性增長並以平衡密度填滿空間（Bezuidenhout-Grimmett 重啟／區塊建構的結果）。

其重要性是概念性的：它表明超臨界區的接觸過程恰有兩個極端不變測度，delta_0 與 nu，而整個前向演化是消亡（凍結於 delta_0）與存活（鬆弛到 nu）之間的競爭。這比僅僅證明不變測度存在強得多、也有用得多。誠實的提醒是：乾淨的兩測度形式是吸引、自對偶系統的特徵，而它確實是帶有假設的定理——確立它需要深刻的超臨界估計，對其他或較不對稱系統的類似完全收斂陳述更難或為假。另須注意定理描述的是分布的弱收斂；實現的路徑並不收斂（存活的組態永遠持續起伏，只是局部看起來像 nu 的一個樣本）。