與聚合隨機漫步的對偶（duality with coalescing random walks）

與聚合隨機漫步的對偶，是使投票者模型可解的精確分析機制。其想法是把一個困難的前向問題——大時刻 t 的意見組態是什麼？——翻譯成關於一群相遇即合併的隨機漫步的較易後向問題。它是交互作用粒子系統中對偶的原型範例，也是投票者模型的整個平衡結構得以寫出的緣由。

精確陳述用到對偶函數。對投票者模型，相關函數為 H(eta, A) = 1{ eta 在有限集 A 上恆為 1 }（等價地研究有限集上一致性的指示函數）。論斷是 E_eta[ H(eta_t, A) ] = E_A[ H(eta, A_t) ]，左邊 eta_t 是從組態 eta 出發的投票者模型、A 是固定有限集，右邊 A_t 是從集合 A 出發、運行時間 t 的聚合隨機漫步系統，而 eta 固定在時刻 0。用白話說：欲知時刻 t 位點 A 上的意見，從 A 的每個位點逆時間送出一個隨機漫步者；每個漫步者反向追隨模仿箭頭；每當兩漫步者落在同一位點便聚合為一（因兩者皆複製自同源）；時間 t 後存活的漫步者坐落在祖先位點上，而 A 在時刻 t 的意見恰是那些祖先在時刻 0 的意見。相異祖先數只能遞減，這就是聚合。對偶之所以成立，是因為投票者生成元 L 在 eta 變數中作用於 H(eta, A) 等於聚合漫步生成元在 A 變數中作用於同一 H——這是逐項可驗的代數恆等式。

此方法的威力在於對偶漫步的常返與暫態決定了原系統的相圖：以機率 1 聚合（d <= 2）迫使共識，而多個相異祖先正存活（d >= 3）則給出共存與一族連續統的不變測度。誠實的提醒是：這美妙的自對偶是特殊的：它成立是因為投票者模型為線性（其速率透過意見相左鄰居的比例線性依賴組態）。多數交互作用粒子系統並非自對偶；它們可能有不同的對偶（接觸過程以另一種單調意義對偶於自身；排他過程透過另一種對偶函數自對偶），或根本沒有可用的對偶。聚合漫步對偶亦與族群遺傳學中踏腳石（stepping-stone）與 Moran 模型的對偶概念緊密相連，那裡的後向系譜正是聚合過程（coalescent）。