可判定語言的封閉性（closure of the decidable languages）

當我們說某一類語言「對某運算封閉」時，意思是：從這一類裡任取一些語言，用該運算把它們組合起來，結果仍在這一類裡——這一類像一間密室，那些運算無法把你帶出去。可判定語言在這方面表現極好。因為判定器總會停機，你可以跑判定器、讀出它們明確的是非答案、再用普通邏輯自由地組合這些答案——而合成出來的機器仍然總會停機。

具體地說，可判定語言對所有常見運算都封閉：補集、聯集、交集、串接、以及 Kleene 星號。補集是最乾淨的示範：給定一台總會停機的 L 判定器，只要把它的接受與拒絕狀態對調；結果總會停機，且恰好接受非成員，所以補集可判定。聯集與交集：把兩台判定器一前一後地跑（都會結束），然後聯集就在「任一接受」時接受、交集就在「兩者皆接受」時接受。L1 與 L2 的串接：要測 w，試遍把 w 切成前段 u 與後段 v 的每一種切法（只有 |w|+1 種切法，一份有限清單），對 u 跑 L1 判定器、對 v 跑 L2 判定器，只要有一種切法成功就接受。星號類似，試遍把 w 切成若干段的所有有限切法。每一步都是在「總會停機的判定器」之上做有限量的工作，所以結果總會停機。

重點是：可判定語言構成一個對布林代數友善、完全對稱的類別——而它對補集的對稱性，正是與可識別類別的關鍵對比。因為判定器在兩個方向都給出保證的答案，把「是」和「否」對調是無害的。可識別語言『沒有』這項福利：它們對聯集、交集、串接、星號封閉，但『不』對補集封閉，正是因為識別器可能迴圈，你無法安全地把「永遠迴圈」翻成乾淨的「拒絕」。這一道不對稱，就是「永遠迴圈」這個可能性的指紋。