上下文無關語言的封閉性（closure properties）
把上下文無關語言（context-free language, CFL）想成一個門禁森嚴的俱樂部。某些把成員組合起來的方式，產生的人「仍然」可以進俱樂部；另一些方式卻會放進一個不屬於這裡的陌生人。封閉性正是這道門的規則：哪些運算讓你留在上下文無關語言這個家族之內，哪些會把你趕出去。對某些運算，CFL 的門比正規語言（regular language）更寬鬆；對另一些運算卻更嚴格——而看出這個差別，是這套理論最初的重大一課。
具體來說，若 L 與 M 都是上下文無關語言，則以下也都是：聯集 L ∪ M（屬於任一者的字串——只要加一個新的起始符號 S，配上兩套文法的規則 S -> S_L 與 S -> S_M）、串接 LM（先一個 L 的字串、再接一個 M 的字串——用 S -> S_L S_M）、Kleene 星號 L*（把零個或多個 L 的字串黏接起來——用 S -> S_L S | ε）、L 的反轉（每個字串倒著拼——把每條文法規則的右側反轉）、以及 L 在同態（homomorphism，逐符號替換）下的像。還有一個混合運算也留在家族內：一個 CFL 與一個正規語言的「交集」仍是上下文無關語言。每一項封閉性都用一個對文法或下推自動機（pushdown automaton）的明確構造來證明。
但這裡有一道讓初學者吃驚的牆：上下文無關語言對（兩個 CFL 的）「交集」「不」封閉，對「補集」也「不」封閉。正規語言對所有運算都封閉；CFL 並非如此。這不是我們不夠聰明造成的——存在具體的 CFL 配對，其交集可被證明「不」是上下文無關；也存在具體的 CFL，其補集「不」是上下文無關。所以封閉性是每個家族各自的事實，得去查、不能假設：知道一個語言是上下文無關，就告訴你哪些構造是安全的、哪些是被禁止的。
聯集：由產生 { a^n b^n : n >= 0 } 的文法 G1 與產生 { b^m c^m : m >= 0 } 的文法 G2，建出 S -> S1 | S2（並接上 G1、G2）。新文法產生聯集——仍是上下文無關。但這些家族的近親（a^n b^n c^m 與 a^m b^n c^n）的交集「不」是上下文無關，所以交集在這裡不是安全的運算。
對聯集、串接、星號、反轉、同態、與正規語言取交集封閉——但對交集與補集「不」封閉。
別把正規語言的直覺整套搬過來：正規語言對交集與補集封閉，但 CFL 「不」封閉。這個對比是模型本身的真實特性，不是疏漏。