CFG 與 PDA 的等價（CFG-PDA equivalence）
這是本領域的招牌定理，是「正規表示式等於有限自動機」在下推層級的對應物。一個語言能由某個上下文無關文法生成，「若且唯若」它能由某台下推自動機辨識。一句話：下推自動機恰好辨識上下文無關語言——不多、不少。生成觀點（文法）與辨識觀點（機器）描述的是同一個類別。
兩個方向都以明確的構造來證明。從文法到 PDA：建造一台單狀態、以空堆疊接受的 PDA，用它的堆疊來模擬一次「最左推導」。它一開始把起始符號放在堆疊上；每當頂端是變數，它就非確定性地彈出該變數、並推入它某條規則的右側（猜要套用哪條規則）；每當頂端是終端符號，只有在它與下一個輸入符號相符時才彈出。若輸入恰好對應某次推導，這些猜測就會吻合、堆疊清空、機器接受。從 PDA 回到文法是較難的方向：你引入一些變數，代表「機器從狀態 p 走到狀態 q、同時淨彈出某個特定堆疊符號」，並建構規則來鏡映 PDA 的動作；所得文法恰好生成該 PDA 的語言。
好處是你可以視哪一邊較容易，自由地在兩種圖像間切換。想「證明」某語言是上下文無關的嗎？給一個文法或給一台 PDA——兩者皆可。想「剖析」嗎？文法是你指定語言的方式，PDA（及其確定型限制）是你有效辨識它的方式。這個等價正是喬姆斯基階層中位於正規語言上方一階的那一層，也是為什麼堆疊是上下文無關能力的定義性資源。
對 S → a S b | ε，模擬用的 PDA 一開始把 S 放在堆疊上。頂端是 S，猜 S → a S b：彈出 S、推入 a S b。頂端是 a：只有當輸入是 a 時才彈出它。如此貫穿「aabb」，並在輸入結束的瞬間恰好清空堆疊。
文法轉 PDA 在堆疊上模擬最左推導；反方向則把 PDA 的動作編碼成規則。
這個等價對「一般的」（非確定型）PDA 成立。確定型 PDA 只辨識上下文無關語言的一個嚴格子集，所以「PDA 等於 CFG」是關於非確定型 PDA 的陳述。