變分法（calculus of variations）

普通微積分尋找使一個函數取極小的數字。變分法做的是更宏大的事：它尋找整個函數——一條曲線的形狀、一個粒子的路徑——使某個量取極小（或取極值）。一條懸掛的鏈子形成什麼曲線？光沿哪條路徑行進？大自然實際挑選的是哪條軌跡？這些就是它的問題。

要取極值的量是一個泛函——賦予一整個函數一個數字——通常是積分 S[y] = L(x, y, y') 從 a 到 b 的積分。要求 S 在任何固定端點的微小變分 y -> y + delta y 下取駐值（一階不變），就導出歐拉-拉格朗日方程：d/dx (partial L / partial y') - (partial L / partial y) = 0。任何滿足它的函數都使泛函取駐值；這把在函數上的無窮維搜尋，轉換成一個要解的微分方程。

這是理論物理的數學骨幹。令 L 為拉格朗日量（動能減位能），歐拉-拉格朗日方程就是牛頓第二定律——最小作用量原理。同一套機制給出廣義相對論中的測地線方程（時空中的極值路徑）、光學中的費馬原理（最短時間），並透過諾特定理，把作用量的每一個連續對稱都繫上一條守恆律。約束則在同一框架內用拉格朗日乘子處理。