族群的鞅極限（martingale limit of the population）
在超臨界高爾頓-沃森過程中，大小 Z_n 大致以 m^n 成長，但伴隨永不平均掉的隨機波動。鞅極限 W 捕捉了精確的隨機前因子：它是標準化族群 Z_n / m^n 的幾乎必然極限，並以單一隨機變數記錄了早期世代有多幸運。兩個具相同子代分布、相同最終命運的族群，可以有非常不同的 W，而 W 永遠記住這個差異。
定義 W_n = Z_n / m^n，其中 m = E[X] > 1。對第 n 代取條件，E[Z_(n+1) | Z_n] = m Z_n，故 E[W_(n+1) | F_n] = W_n：(W_n) 是非負鞅，E[W_n] = 1。由鞅收斂定理，它幾乎必然收斂到極限 W >= 0。整個問題在於此收斂是否也在 L^1 中成立，等價於 E[W] = 1 而非 W = 0 幾乎必然；凱斯滕-斯蒂格姆定理透過 x log x 條件回答之。當 W 非退化時，其分布是分布型不動點方程 W = (1/m) sum_(i=1)^X W_i 的唯一（平均為 1 的）解，其中 W_i 是 W 的獨立同分布副本、獨立於子代數 X——這是繼承自分支結構的自相似性。拉普拉斯變換 phi(t) = E[exp(-t W)] 滿足泛函方程 phi(m t) = f(phi(t))，把 W 連回生成函數 f。
重要性：W 是「可真正隨機且嚴格為正的鞅極限」的典範，也是機率論中自相似與遞迴結構所生極限的原型——從隨機樹的高度，到分支隨機漫步與有向聚合物的配分函數。W 的分布通常無顯式（它在 (0, infinity) 上有連續部分，並在 0 處有來自滅絕、大小為 q 的原子），而計算其尾部是精細的技藝（大 W 對應於異常多產的根）。其前提提醒與凱斯滕-斯蒂格姆相同：沒有 x log x 條件，「極限」W 恒為零、不傳達任何資訊，故在把 W 當作有意義的隨機變數之前，必須先驗證可積性。
對 m = 2 且所有動差有限的二元分裂，W 在存活時是真正的正隨機變數：早期世代分支旺盛的樹會鎖定一個大的 W，而 Z_n 永遠約為 W 乘以 2^n。原子 P(W = 0) 等於滅絕機率 q，因為死去的血脈自此 Z_n = 0 = W 2^n。
W = lim Z_n / m^n 記錄早期世代的運氣並永遠持續；P(W=0) 等於滅絕機率。
W 非負且總會收斂，但除非 E[X log+ X] < infinity（凱斯滕-斯蒂格姆），否則恒等於零。它在 0 處的原子恰為滅絕機率 q；在存活時，唯有可積性成立，W 才嚴格為正。