鍵滲流與位滲流（bond and site percolation）

滲流是隨機多孔介質最簡單的模型，也是機率中觀察相變發生最乾淨的場所。想像整數格 Z^d，格點（位）在整數座標處，鍵（邊）連接最近鄰。我們讓介質隨機化的方式有二：要嘛讓每條鍵獨立地以機率 p 保持開放（以機率 1-p 關閉）——這是鍵滲流；要嘛讓每個位以機率 p 保持開放——這是位滲流。根本問題是：在原點注入的流體能否流到任意遠處？也就是說，幾乎必然地是否存在一個由開放元素構成的無限連通區域？

形式上，固定維度 d >= 2 與參數 p 屬於 [0,1]。鍵滲流的機率空間是 {0,1}^E，其中 E 是 Z^d 的邊集，配以乘積伯努利(p)測度 P_p；一個組態 omega 對每條邊 e 獨立地賦予值 omega(e) = 1（開）或 0（閉）。位滲流則改用頂點上的 {0,1}^V。若兩個開放位之間存在一條僅用開放鍵的路徑（鍵滲流）或僅經過開放位的路徑（位滲流），則稱它們連通。頂點 x 的開放叢集 C(x) 是所有與 x 連通的頂點集合。整個理論研究這些隨機叢集的幾何如何隨 p 變化，尤其是在某個臨界值 p_c 處幾何如何突變。

兩個版本是近親但不相同：任何鍵模型都可重新編碼為相關圖（覆蓋圖或線圖）上的位模型，因此位滲流在某種意義上更一般，但 Z^d 上的鍵滲流通常較易計算。它們的臨界值不同——例如由凱斯滕（Kesten）定理，Z^2 上 p_c(鍵) = 1/2，而 Z^2 上 p_c(位) 約為 0.5927 且無封閉形式。深刻之處在於：定性圖像——一個將「無無限叢集」相與「有無限叢集」相截然分開的尖銳閾值——對兩者、對各種格、對各維度都是普適的，即使精確的數值 p_c 依賴於格，而且幾乎總是無顯式表達。