貝氏定理（Bayes theorem）
/ BAYZ THEER-um /
貝氏定理是「新證據來臨時如何更新你的看法」的數學。你先對某件事有多大可能持有一個信念（先驗），接著看到一些證據，定理便精確地告訴你，該如何把這個信念修訂成一個更新後的信念（後驗）。它是常識的正式版本：夜裡一聲怪響，多半是貓；可你若同時聽見玻璃碎裂，便會理所當然地把判斷更新向「有人闖入」。
那個關鍵又滑溜的洞見是：兩個聽上去一模一樣的問題，其實並不一樣：「在某個原因下，這個證據有多大可能？」與「在這個證據下，那個原因有多大可能？」是天差地別的兩回事。貝氏定理正是連接二者的橋；而要走過這座橋，必須把「這個原因起初本來有多常見」一併掂量進去。忽略基礎機率——也就是先驗——你就會一次又一次地上當。
這是「在不確定中推理」的脊梁。樸素貝氏分類器——一款主力垃圾郵件過濾器——就直接套用了它。貝氏方法讓模型能背負著誠實的不確定，並隨資料一點點流入而平滑地更新。但那個著名的陷阱是基礎機率謬誤：一項哪怕 99% 準確的檢驗，在篩查某種確實罕見的東西時，也可能給出的大多是假警報——道理很簡單，會被誤標的健康人，遠比能被揪出的病人多得多。貝氏定理，恰恰就是那件能讓你不被一個聽著唬人的「準確率」數字矇騙的工具。
某種疾病的患病率是千分之一。一項檢驗能查出 99% 的病人，且只會錯誤地把 1% 的健康人標為陽性。你檢測呈陽性——你患病了嗎？在 1000 人裡，那 1 個病人大概會呈陽性，可那 999 個健康人裡，也約有 10 人會呈陽性。於是在這 11 個陽性者中，真正患病的只有 1 人：你真實的患病機率約為 9%，而非 99%。
基礎機率謬誤的現場演示：一項 99% 準確的檢驗，陽性結果為真的可能性仍只有約 9%，只因這病本就罕見。
最常見的錯誤，是把「在某原因下證據的機率」與「在該證據下那個原因的機率」混為一談——它們並不相等，而二者之間的差距，恰恰由先驗（基礎機率）所掌控。該定理以湯瑪斯·貝氏牧師命名，他的成果在 1763 年、他去世之後才得以發表。