平衡方程（balance equations）
平衡方程是機率分配 pi 要成為連續時間馬可夫鏈的平穩（平衡）分配所須滿足的代數條件。它們是離散鏈中 pi = pi P 在連續時間下的對應物，也是為求鏈在各狀態長期所佔時間比例而求解的方程。「平衡」一詞名副其實：在平衡時，流入每個狀態的機率等於流出的機率。
S 上的分配 pi 若滿足 pi Q = 0 即為平穩，寫成全域平衡方程：對每個狀態 j，sum_{i != j} pi(i) q_ij = pi(j) q_j。左側是流入 j 的總機率通量，右側是流出總通量；平衡即兩者相等。若鏈不可約且正常返，則 pi 唯一，並且也是極限分配：當 t -> 無窮時 P_t(i,j) -> pi(j)（對每個 i），且 pi(j) 是在 j 的長期時間比例。此處的 pi 是 CTMC 的平穩分配，與跳躍鏈平穩分配 nu 的關係為 pi(j) 正比於 nu(j)/q_j。一個更強且非常有用的特例是細緻平衡：pi(i) q_ij = pi(j) q_ji（對每一對 i, j），意指通量逐對、逐邊平衡，而不僅是總量平衡。容許這種 pi 的鏈是可逆的——在時間上倒著跑統計上是同一條鏈——而細緻平衡讓你幾乎一眼就能讀出 pi（例如用生成樹或乘積形式論證）。
平衡方程是排隊、網路與物理系統穩態分析的日常工具。兩點誠實的說明。在無限狀態空間上求解全域平衡方程，還須檢查解可加總（可正規化為機率）——一個加總為無窮的正解表示零常返或暫態，而非平衡。而細緻平衡是真正的限制：多數鏈並非可逆（例如單向循環有平穩分配卻無細緻平衡解），故切勿假定細緻平衡成立；當它不成立時，你必須求解完整的全域平衡系統。
對 {0,1,2,...} 上出生率 lambda_n、死亡率 mu_n 的生死鏈，細緻平衡 pi(n) lambda_n = pi(n+1) mu_{n+1} 給出乘積形式 pi(n) = pi(0) * prod_{k=1}^{n} (lambda_{k-1}/mu_k)，正規化使 pi(n) 之和為 1（這要求該級數收斂）。
生死鏈可逆，故細緻平衡以閉式乘積形式給出平穩律——前提是正規化級數收斂。
細緻平衡（可逆性）是嚴格的特例：多數鏈只滿足全域平衡 pi Q = 0。在無限狀態空間上，平衡方程的非負解唯有可加總時才是平穩分配；不可加總的解意味著零常返或暫態。