和角公式與倍角公式

sin 30 度與 sin 45 度可以直接從單位圓讀出，但 sin 75 度呢？你不能把兩個正弦直接相加——正弦對加法不可拆分。和角公式正是組合角度的正確規則，也是幾乎每一項三角運算背後的主力。

兩條基本公式是 sin(A + B) = sin A cos B + cos A sin B 與 cos(A + B) = cos A cos B - sin A sin B（A - B 時正負號相應改變）。注意餘弦的公式中夾了一個負號。令 B = A，各自化為倍角公式：sin 2A = 2 sin A cos A，cos 2A = cos^2 A - sin^2 A，後者經畢氏恆等式又可寫成 1 - 2 sin^2 A 或 2 cos^2 A - 1。把後兩式解出 sin^2 A、cos^2 A 並把角折半，便得半角公式，如 sin^2(A/2) = (1 - cos A) / 2。於是 sin 75 度 = sin(45 + 30) = sin 45 cos 30 + cos 45 sin 30 = (sqrt(2)/2)(sqrt(3)/2) + (sqrt(2)/2)(1/2) = (sqrt(6) + sqrt(2)) / 4。

這些公式讓你能精確求出新角的值、把複雜式子摺疊起來，也能反過來把和化成積。它們是物理與訊號處理中波相加的根據——兩個同頻率的正弦波之所以合成單一個有相位移的正弦波，正是因為這些公式。最致命的錯誤是假設 sin(A + B) = sin A + sin B；這是假的，這些公式正是為了取代那個錯誤猜測而存在。